浙江大学 2021-2022 学年春学期《常微分方程》课程期末考试试卷解析
课程号:061B0010,开课学院:理学部
试卷: √A 卷、B卷(请在选定项上打√
考试形式:√闭、开卷(请在选定项上打√),允许带 入场
考试日期: 年4月17日 10:30-12:30, 考试时间:120分钟
诚信考试,沉着应考,杜绝违纪
一、(每小题8分,共32分)求下述方程的通解或特解:
1.（x+1)dy/dx=y[1+lny-ln(x+1)]
2. dy/dx=y/(x^2y^2+x) ,y(1)=1;
3. y(1+xy)dx+x(1-xy)dy=0;
4.(x-sin y)dx+(4sin y-x)cosy dy=0;
二、(每小题10分,共30分)试求出下列高阶方程的通解:
1. y^3y''+1=0;
2. y''+4y'+4y=0 y(2)=4, y'(2)=0;
3. x^2y"-2xy'+2y=xlnx (x>0).
三、(每小题10分,共20分)求解下列线性微分方程组:
1. x'+y'=y+z
y'+z'=z+x
z'+x'=x+y
2. x'=-5x+2y+e^t
y'=x-6y+e^(-2t)
四、(10分)已知某商品的销售量x(t)是时间t的可导函数;且x(t)关于时间的变化率,与该销售量以及它接近饱和的水平 N-x(t) 之乘积成正比(N为饱和消售量,比例常数为 k>0)。 且x(0)=N/4。 试求:
(1).该销售量的函数表达式;
(2).x(t)增长得最快的时刻T。
五、(8分)证明:若p,q为大于0的常数,则方程
d^2x/dt^2+p(dx)/dt+qx=0
的所有解x(t)均满足 limx(t)=0,其中t→∞。
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