浙江大学高等数学 2021-2022年第一学年期限末A卷解答
1,计算题
(1). 首先,我们要明白什么是连续。一个函数在某点连续,意味着当x接近该点时,函数的值也接近该点的函数值。
给定的函数是:
f(x) = ln(1+x) - (x+ax)/x^2, 当 x ≠ 0
f(x) = 2, 当 x = 0
为了确定f(x)在x=0处连续,我们需要确保:
lim (x→0) f(x) = f(0)
用数学方程,我们可以表示为:
lim (x→0) [ln(1+x) - (x+ax)/x^2] = 2
现在我们要来解这个方程,找出 a 的值。
计算结果为:a = 1
所以,为了使函数f(x)在x=0点连续,常数a的值应为:1。
(2). 我们要确定一个常数a,使得直线y=9x+b是曲线y=x^3-3x的切线。
首先,我们需要知道什么是切线,以及怎么求切线。
切线是与曲线在某一点只有一个交点的直线。为了找到这个切线,我们需要知道曲线在该点的斜率。
假设切点为 (a, a^3-3a)。
根据题目,我们可以建立以下方程:
1.切线的斜率是曲线在切点的导数。
2.使用点斜式方程,我们可以得到切线的方程为 y - (a^3-3a) = 9(x - a)。
3.由于切线和曲线在切点相交,所以 (a, a^3-3a) 也满足 y = x^3 - 3x。
用数学方程,我们可以表示为:
y' = 3x^2 - 3
在 x = a 时, y' = 3a^2 - 3
所以 3a^2 - 3 = 9 (因为切线的斜率是9)
现在我们要来解这个方程,找出 a 的值。
计算结果为:a = -2
所以,使得直线y=9x+b为曲线y=x^3-3x的切线的常数为:-2。
(3). 我们要计算的是极限 lim (x→无穷大) ln(x^2 + 3x + 1) / ln(x^3 + 2x + 1)。
首先,我们需要理解什么是极限,并且知道如何计算它。极限是数学中的一个概念,它描述了一个函数在某一点或无穷远处的行为。
对于本题,我们要计算的是 x 趋向无穷大时,函数 ln(x^2 + 3x + 1) / ln(x^3 + 2x + 1) 的极限。
我们可以使用洛必达法则(L'Hopital's Rule)来求解这种形式的极限。
洛必达法则告诉我们,如果 lim f(x) 和 lim g(x) 在 x→a 时都是0或都是无穷大,
那么 lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x),其中 f'(x) 和 g'(x) 分别是 f(x) 和 g(x) 的导数。
所以,我们可以分别对 ln(x^2 + 3x + 1) 和 ln(x^3 + 2x + 1) 求导,然后再求极限。
计算结果为:lim (x→无穷大) ln(x^2 + 3x + 1) / ln(x^3 + 2x + 1) = 2/3
所以,该极限的值为:2/3。
(4). 我们要找函数 f(x) = (x + 1)ln(x + 1) 的单调区间和极值。
首先,我们需要知道函数的导数,因为导数可以帮助我们了解函数的增减性和极值点。
对于函数 f(x),其导数表示为 f'(x)。
为了找到 f(x) 的导数,我们可以使用乘法法则。
乘法法则告诉我们如何计算两个函数乘积的导数。
如果 u 和 v 是 x 的函数,那么 (uv)' = u'v + uv'。
在这个问题中,我们可以令 u = x + 1 和 v = ln(x + 1)。
那么 u' = 1 和 v' = 1/(x + 1)。
将这些代入乘法法则,我们可以得到 f'(x) 的表达式。
计算结果为:f'(x) = log(x + 1) + 1
所以,函数 f(x) = (x + 1)ln(x + 1) 的导数为:f'(x) = log(x + 1) + 1。
函数的单调性可以通过其导数的正负来判断:
1.当 f'(x) > 0 时,函数在该区间内递增。
2.当 f'(x) < 0 时,函数在该区间内递减。
而极值点则是导数由正变负或由负变正的点。我们可以通过令 f'(x) = 0 来找到这些点。
可能的极值点为: [-1 + exp(-1)]
为了判断单调区间,我们需要考虑 f'(x) 的正负:
3.当 x > -1 时,f'(x) = ln(x + 1) + 1 > 0,所以函数在 (-1, ∞) 上递增。
4.当 x < -1 时,由于 ln(x + 1) 不存在,所以该区间不在函数的定义域内。
接下来,我们判断极值点的性质:
在 x = -1 处,因为 f'(x) 在此由负变正,所以 x = -1 是一个极小值点。
综上,函数 f(x) = (x + 1)ln(x + 1) 在 (-1, ∞) 上递增,并在 x = -1 处取得极小值。
f(x)=(x+1)ln(x+1),f'(x)=ln(x+1)+1 (x>-1)令f'(x)>0,即 ln(x+1)>-1, ==> x+1>1/e, 即x>1/e-1f'(x)<0,==> -1<x<1/e-1f(x)增区间为(1/e-1,+∞) 减区间为(-1,1/e-1)f(x)min=f(1/e-1)=-1/ef(x)的值域为[-1/e,+∞)
(5). 在这个问题中,f(x) = x / √(4 - x^4)。
我们要计算一个不定积分:∫x/√(4 - x^4) dx。
首先,我们要对这个积分进行换元处理,使其更容易计算。
令 t = x^2,那么 dt = 2x dx。
所以,x dx = 1/2 dt。
将上述的换元代入原积分中,我们得到:
∫x/√(4 - x^4) dx = 1/2 ∫1/√(4 - t^2) dt。
现在,我们注意到∫1/√(4 - t^2) dt 是arcsin函数的导数形式。
因此,我们可以得到:
1/2 ∫1/√(4 - t^2) dt = 1/2 arcsin(t/2) + C。
再将 t = x^2 代入回去,得到:
1/2 arcsin(x^2/2) + C。
所以,不定积分∫x/√(4 - x^4) dx 的结果为:1/2 arcsin(x^2/2) + C,其中C为常数。
(6).
(7). 我们需要判断反常积分∫[从1到+∞] [cos^3x / (x + 2e^-3x)√(1 + x)] dx是否收敛。
首先,我们要理解这个积分的组成部分和它的行为。
被积函数是 f(x) = cos^3x / (x + 2e^-3x)√(1 + x)。
根据数学知识,我们知道:
1.cos^3x 的值在-1和1之间波动。
2.当 x → +∞, 2e^-3x → 0。
3.当 x → +∞, √(1 + x) → +∞。
结合以上信息,当 x 很大时,f(x) 的分子是一个有界值,而分母会变得非常大。
这意味着,当 x → +∞, f(x) → 0。
根据反常积分的收敛性判断,如果当 x → +∞ 时,f(x) → 0,则该反常积分收敛。
因此,我们可以得出结论:反常积分 ∫[从1到+∞] [cos^3x / (x + 2e^-3x)√(1 + x)] dx 是收敛的。
(8). 我们有一个3x3矩阵,我们需要找到它的逆矩阵。
首先,我们要了解什么是逆矩阵和如何计算它。
一个矩阵A的逆矩阵,记作A^(-1),满足以下条件:
A × A^(-1) = I
其中I是单位矩阵,即对角线上的元素都是1,其他元素都是0。
为了找到矩阵A的逆矩阵,我们可以使用高斯-约尔当消元法。
这种方法涉及到对增广矩阵[A | I]进行行变换,直到左侧变为单位矩阵I。
这时,右侧就是A^(-1)。
给定的矩阵是:
A = [1 -2 1; -2 5 -4; 1 -4 6]
我们将对这个矩阵使用高斯-约尔当消元法来找到它的逆矩阵。
计算结果为:
A^(-1) = [[-23/3, 14/3, -1/3], [4/3, -1/3, -1/3], [-5/3, 2/3, 1/3]]
所以,矩阵A的逆矩阵是:
[[-23/3, 14/3, -1/3],
[ 4/3, -1/3, -1/3],
[-5/3, 2/3, 1/3]]
2. 我们要找出方程 2x^3 - 3x^2 + 1/2 = 0 有几个实根,并解释原因。
首先,我们需要理解什么是方程的实根和多项式方程的基本性质。
一个方程的实根是使得方程等于0的实数x的值。对于多项式方程,实根的个数与多项式的次数和形状有关。
为了确定实根的个数,我们可以使用判别式的方法。但对于三次方程,判别式的方法较为复杂。
另一种方法是观察方程的图像和它的导数图像。通过导数我们可以知道函数在哪里上升、下降或平坦,从而推测出实根的个数。
给定的方程是 2x^3 - 3x^2 + 1/2 = 0,这是一个3次多项式方程。
为了找出其实根的个数,我们可以先观察它的导数 6x^2 - 6x。
导数的零点可以帮助我们确定原方程的拐点或极值点,从而推测出实根的个数。
计算结果为: [0, 1]
所以,方程 2x^3 - 3x^2 + 1/2 = 0 在实数域内有 2个实根。
3. 我们要制作一个体积为V的圆柱形无盖铁桶,目标是找出如何确定其底面半径和高度,以便用料最省。
假设圆柱的底面半径为 r 米,高为 h 米。
根据题目,我们可以建立以下方程和不等式:
1.圆柱的体积是 V = π × r^2 × h(底面积乘以高)。
2.圆柱的表面积(不包括底面和顶面)是 A = 2 × π × r × h(侧面积)。
我们的目标是使 A 最小,同时满足体积 V 的要求。
用数学方程,我们可以表示为:
1. V = π × r^2 × h
2. A = 2 × π × r × h
为了找出用料最省(即表面积 A 最小)的解,我们需要使用拉格朗日乘数法。
计算结果为:r = sqrt(V/pi), h = sqrt(V/pi)
所以,为了使用料最省,圆柱的底面半径应为:sqrt(V/pi) 米,高应为:sqrt(V/pi) 米。
4. 若lim (x→1) {√(x^4 + 3) -[A+B(x-1)+C(x-1)^2]}/(x-1)^2=0,求常数A,B,C。
我们要计算一个极限,即当x趋近于1时,某个函数的极限值为0。
这个函数是:{√(x^4 + 3) - [A + B(x-1) + C(x-1)^2]} / (x-1)^2
我们的目标是找出常数A,B,C的值。
首先,我们定义函数 f(x) = √(x^4 + 3)
然后,我们使用泰勒级数展开 f(x) 在 x=1 处。
泰勒级数展开的一般形式是:f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ...
在这个问题中,a = 1。
我们将 f(x) 在 x=1 处展开到 (x-1)^2 项,并与 [A + B(x-1) + C(x-1)^2] 进行比较,以找出 A, B, C 的值。
计算结果为: [{A: 2, B: 1, C: 5/4}]
所以,常数 A, B, C 的值分别为:A = 2, B = 1, C = 5/4。
5. 证明:当x>0时成立 ln(1+x)>x-(1/2)x^2+(1/3)x^3-(1/4)x^4。
为了证明当x>0x>0时,不等式\ln(1+x)>x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4ln(1+x)>x−21x2+31x3−41x4成立,我们可以按照以下步骤进行推导:
第一步,定义函数f(x)=\ln(1+x)-x+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4f(x)=ln(1+x)−x+21x2−31x3+41x4。
第二步,根据导数的定义和性质,我们求出f(x)f(x)的导数f'(x)f′(x)。
第三步,计算f'(x)f′(x),得到f'(x)=\frac{1}{1+x}-1+x-x^2+x^3=\frac{x^4}{1+x}f′(x)=1+x1−1+x−x2+x3=1+xx4。
第四步,根据导数与函数单调性的关系,由于当x>0x>0时,f'(x)>0f′(x)>0,所以函数f(x)f(x)在(0,+\infty)(0,+∞)上单调递增。
第五步,根据函数在某点的值与函数图像的关系,由于f(0)=0f(0)=0,所以当x>0x>0时,有f(x)>f(0)=0f(x)>f(0)=0。
第六步,将第五步的结论代入函数f(x)f(x)的定义式,得到\ln(1+x)>x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4ln(1+x)>x−21x2+31x3−41x4。
因此,我们证明了当x>0x>0时,不等式\ln(1+x)>x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4ln(1+x)>x−21x2+31x3−41x4成立。
6. 设函数f在 (-∞, ∞) 上有连续二阶导数,且满足方程 xf'(x)=f(x)+140x^6,(1),求f(x)的表达式;(2),问曲线y=f(x)是否有拐点?请说明理由;(3),是否存在函数f,它在开区间(0,1)上大于零,并满足上面的方程,且曲线y=f(x)(x∈[0,1])与直线x=1和y=0所围成的图形D的面积为2?证明理由。
7. (1),证明:∫(1,0)(1+sinπx/2) ^n dx>[2^(n+1)-1]/(n+1) (n=1,2,3~)
为了证明给定的不等式,我们可以按照以下步骤进行:
第一步,根据题目,我们需要证明的不等式为:
∫(1,0)(1+sinπx/2) ^n dx>[2^(n+1)-1]/(n+1)
第二步,根据三角函数的性质,我们知道sinπx/2在[0,1]区间内的取值范围为[0,1],所以1+sinπx/2的取值范围为[1,2]。
第三步,根据幂函数的性质,当底数大于1时,幂次n越大,函数值越大。所以(1+sinπx/2) ^n的最小值为1^n=1,最大值为2^n。
第四步,根据定积分的性质,我们可以得到:
∫(1,0)(1+sinπx/2) ^n dx的最小值为∫(1,0)1dx=1,最大值为∫(1,0)2^ndx=2^n/(n+1)。
第五步,结合第四步的结果,我们可以得到:
∫(1,0)(1+sinπx/2) ^n dx>2^n/(n+1)。
第六步,为了证明原不等式,我们需要证明2^n/(n+1)≥[2^(n+1)-1]/(n+1)。这可以通过比较两个数列{an}和{bn}的大小来实现,其中an=2^n,bn=[2^(n+1)-1]/(n+1)。
第七步,根据数列的单调性,我们可以知道数列{an}是单调递增的,而数列{bn}是单调递减的。因此,对于任意的n,都有an≥bn。
综上,我们证明了给定的不等式∫(1,0)(1+sinπx/2) ^n dx>[2^(n+1)-1]/(n+1)成立。
(2),求极限lim(n→∞) [∫(1,0)(1+sinπx/2) ^n dx]^1/n
我们要计算极限 lim(n→∞) [∫(1,0)(1+sinπx/2) ^n dx]^1/n。
首先,我们注意到这是一个复合函数的极限,其中包含一个定积分和一个幂运算。
为了简化问题,我们先考虑定积分 ∫(1,0)(1+sinπx/2) ^n dx。
根据之前的证明,我们知道这个定积分的值大于 [2^(n+1) - 1] / (n + 1)。
因此,我们可以将这个定积分的下界用作整个极限的下界。
现在,我们考虑极限 lim(n→∞) ([2^(n+1) - 1] / (n + 1))^(1/n)。
这个极限可以进一步简化为 lim(n→∞) (2 - 1/2^n - 1/n)^(1/n)。
当 n 趋于无穷大时,1/2^n 和 1/n 都趋于0,所以整个极限趋于2。
计算结果为:2
所以,该极限的值为:2
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2024年01月09日 11:05