浙江大学 2022-2023 学年秋学期《常微分方程》课程期末考试试卷解析
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一、求下述一阶方程的通解或特解：
3.
4.
5.
对于给定的方程 dx = (2xy - x^4y^2)dx + x^2dy，首先我们需要将其转换为关于y对x的偏微分的形式。原方程可以重写为：
dx - (2xy - x^4y^2)dx - x^2dy = 0
接着，我们将 dx 和 dy 分别替换为 dy/dx 和 -dx/dy，得到：
1 - (2y - x^4y^2) - x^2(-dx/dy) = 0
这可以进一步整理为：
x^2(dx/dy) + x^4y^2 - 2y + 1 = 0
现在，我们尝试将方程整理为一阶线性偏微分方程的标准形式 y' + P(x)y = Q(x)，其中 y' = dy/dx。
通过对比系数，我们可以发现：
P(x) = -x^2, \quad Q(x) = -x^4 + 2/x - 1/x^2
因此，原方程可以写为：
y' - x^2y = -x^4 + 2/x - 1/x^2
接下来，我们寻找一个积分因子 μ(x)，使得乘以该因子后的方程成为全微分方程。对于一阶线性偏微分方程，积分因子通常是某个只依赖于 x 的函数。在这个例子中，一个合适的积分因子是 e^(-x^3/3)。
将方程两边乘以 e^(-x^3/3)，得到：
e^(-x^3/3)(y' - x^2y) = e^(-x^3/3)(-x^4 + 2/x - 1/x^2)
这个方程现在变成了全微分方程，因为它可以写成关于某个函数 F(x, y) 的全导数形式：
(e^(-x^3/3)y)' = e^(-x^3/3)(-x^4 + 2/x - 1/x^2)
对 e^(-x^3/3)y 关于 x 求导，得到：
e^(-x^3/3)y' - e^(-x^3/3)x^2y
这与之前的方程右侧相等，因此 e^(-x^3/3)y 是一个常数。
所以，我们找到了通解：
e^(-x^3/3)y = C
其中 C 是任意常数。
为了找到特解，我们需要额外的信息，比如 y(x_0) 或 y'(x_0) 的值。如果我们知道 y(x_0) = y_0，则可以将这个条件代入通解中解出 C：
e^(-x_0^3/3)y_0 = C
一旦我们有了 C 的值，就可以将其代回通解中，得到满足 y(x_0) = y_0 的特解。
类似地，如果我们知道 y'(x_0) = y'_0，则可以对方程两边关于 x 求导，得到 y 关于 x 的导数表达式，然后代入 y'(x_0) = y'_0 来求解 C。
请注意，这个特解可能仍然是一个隐式解，不一定能够显式地解出 y 关于 x 的函数形式。显式解的存在取决于原方程和给定的条件。在某些情况下，可能无法找到显式解，而只能以隐式形式表达特解。
二、求下述方程的通解或特解(写出求解过程）：
1.
2.
3.
4.
三、求一阶微分方程组的通解：
1.
dx/dt=-4x-2y+2/(e^x-1)
(dy)/(dt)=6x+3y-3/(e^x-1)
解：
2. 解方程组：
dx/dt=x+(2/3)y-(2/3)z
dy/dt=(2/3)y+(1/3)z
dz/dt=-(1/3)y+(4/3)z
解：
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