浙江大学 2022-2023 学年秋学期《常微分方程》课程期末考试试卷解析

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浙江大学 2022-2023 学年秋学期《常微分方程》课程期末考试试卷解析

答案非官方提供,完全个人整理,仅供参考,难免会有很错误,如有更好的答案或者意见请留言,谢谢


一、求下述一阶方程的通解或特解:


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4.

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5.

对于给定的方程 dx = (2xy - x^4y^2)dx + x^2dy,首先我们需要将其转换为关于y对x的偏微分的形式。原方程可以重写为:

dx - (2xy - x^4y^2)dx - x^2dy = 0

接着,我们将 dx 和 dy 分别替换为 dy/dx 和 -dx/dy,得到:

1 - (2y - x^4y^2) - x^2(-dx/dy) = 0

这可以进一步整理为:

x^2(dx/dy) + x^4y^2 - 2y + 1 = 0

现在,我们尝试将方程整理为一阶线性偏微分方程的标准形式 y' + P(x)y = Q(x),其中 y' = dy/dx。

通过对比系数,我们可以发现:

P(x) = -x^2, \quad Q(x) = -x^4 + 2/x - 1/x^2

因此,原方程可以写为:

y' - x^2y = -x^4 + 2/x - 1/x^2

接下来,我们寻找一个积分因子 μ(x),使得乘以该因子后的方程成为全微分方程。对于一阶线性偏微分方程,积分因子通常是某个只依赖于 x 的函数。在这个例子中,一个合适的积分因子是 e^(-x^3/3)。

将方程两边乘以 e^(-x^3/3),得到:

e^(-x^3/3)(y' - x^2y) = e^(-x^3/3)(-x^4 + 2/x - 1/x^2)

这个方程现在变成了全微分方程,因为它可以写成关于某个函数 F(x, y) 的全导数形式:

(e^(-x^3/3)y)' = e^(-x^3/3)(-x^4 + 2/x - 1/x^2)

对 e^(-x^3/3)y 关于 x 求导,得到:

e^(-x^3/3)y' - e^(-x^3/3)x^2y

这与之前的方程右侧相等,因此 e^(-x^3/3)y 是一个常数。

所以,我们找到了通解:

e^(-x^3/3)y = C

其中 C 是任意常数。

为了找到特解,我们需要额外的信息,比如 y(x_0) 或 y'(x_0) 的值。如果我们知道 y(x_0) = y_0,则可以将这个条件代入通解中解出 C:

e^(-x_0^3/3)y_0 = C

一旦我们有了 C 的值,就可以将其代回通解中,得到满足 y(x_0) = y_0 的特解。

类似地,如果我们知道 y'(x_0) = y'_0,则可以对方程两边关于 x 求导,得到 y 关于 x 的导数表达式,然后代入 y'(x_0) = y'_0 来求解 C。

请注意,这个特解可能仍然是一个隐式解,不一定能够显式地解出 y 关于 x 的函数形式。显式解的存在取决于原方程和给定的条件。在某些情况下,可能无法找到显式解,而只能以隐式形式表达特解。

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二、求下述方程的通解或特解(写出求解过程):

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三、求一阶微分方程组的通解:

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   dx/dt=-4x-2y+2/(e^x-1)          

   (dy)/(dt)=6x+3y-3/(e^x-1)

解:

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2.  解方程组:

dx/dt=x+(2/3)y-(2/3)z  

dy/dt=(2/3)y+(1/3)z  

dz/dt=-(1/3)y+(4/3)z


解:

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标签: #期末试卷 #学习资料 #常微分方程

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